ملخص خاص بإيجاد النهاية والاتصال

*إيجاد النهاية/
و هي تنقسم إلى قسمين :
أولا : عندما النهاية تؤول إلى عدد ..
في هذه الحالة نحدد نوع الدالة فإذا كانت :
1) ثابتة : النهاية = نفس العدد
2) حدودية: نعوض تعويض مباشر
3) نسبية : نعوض تعويض مباشر إذا كان الناتج ..
عدد/عدد هذا يعني النهاية موجودة و تساوي ناتج قسمة العددين
صفر/عدد هذا يعني النهاية موجودة و تساوي صفر
عدد/صفر هذا يعني النهاية غير موجودة و يعبر عنها بالمالانهاية
صفر/صفر في هذه الحالة نقوم بالتحليل أو الضرب في المرافق أو القسمة المطولة من أجل اختصار العامل الصفري و بعد الاختصار نعوض و نوجد قيمة النهاية.

4) جذرية (دليل الجذر فردي): تعويض مباشر

5) جذرية(دليل الجذر زوجي ): نعوض تعويض مباشر فإذا كانت الناتج عدد غير الصفر يعني أن النهاية موجودة و تساوي تلك القيمة ... أما إذا كان ناتج التعويض يساوي صفر هذا يعني أنه يلزم البحث يمين و يسار العدد إما باستخدام التعريف أو بتحديد المجال و تحديد أي النهايتين (اليمنى أم اليسرى) غير موجودة.

6) مطلق: نعوض فإذا كان ناتج التعويض لا يساوي صفر تكون النهاية موجودة و تساوي تلك القيمة .. أما إذا كانت التعويض يساوي صفر فهذا يعني أن العدد يمثل صفر المطلق و يجب إعادة تعريف الدالة و بحث يمين و يسار العدد .. فإذا تساوت النهايتين كانت النهاية موجودة أما إذا اختلفت النهايتين هذا يعني أن النهاية غير موجودة..

7) معرفة بقاعدتين ( أو أكثر ) : إذا كان العدد الذي نبحث النهاية عنده ليس من ضمن نقاط التفرع (النقاط التي يتغير التعريف عندها ) في هذه الحالة نعين الفترة التي يندرج تحتها و نعوض تعويض مباشر .. أما إذا كان من ضمن نقاط التفرع فيجب أن نبحث من اليمين و اليسار ..
عندما النهاية تؤول إلى المالانهاية أيضا سنقوم بتقسيمها إلى عدة حالات :

الحالة الأول : خلو الدالة من جذر و مطلق ( حدودية / حدودية /(
نقسم البسط و المقام على أكبر س مرفوعة لأس سواء في البسط أو المقام
ونعوض عن نها أ/سن عندما س تؤول إلى المالانهاية تساوي صفر

ملاحظات :
* إذا تساوت درجتي البسط و المقام فإن ناتج النهاية يساوي معامل أكبر أس في البسط / معامل أكبر أس في المقام.
* إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام فإن النهاية غير موجودة و يعبر عنها بالمالانهاية.
*إذا كانت درجة البسط أقل من درجة المقام فالنهاية تساوي صفر.

الحالة الثانية : احتواء الدالة على مطلق /
نعيد تعريف المطلق أو بالأحرى نعوض عن |س| = س عندما س تؤول إلى موجب مالانهاية و نعوض عن |س|= -س عندما ستؤول إلى سالب مالانهاية و إذا كانت الدالة حدودية على حدودية نتبع نفس الخطوات الواردة في الحالة الأولى.

الحالة الثالثة : احتواء الدالة على جذر و يمكن تقسيمها أيضا إلى ثلاث حالات/
أولا : جذر ليس له مرافق:
نقوم بأخذ أكبر أس تحت الجذر كعامل مشترك ثم نخرجه من تحت الجذر و نحاول بعد ذلك إتباع الخطوات المعتادة أي القسمة على أكبر س مرفوعة لأس و ننتبه هنا إلى دليل الجذر فإذا كان زوجي لا ننسى وضع المطلق الذي يعاد تعريفه كما تم ذكره في السطور السابقة أما إذا كان دليل الجذر فردي فتخرج س من تحت المطلق بدون وضع المطلق.

ثانيا : جذر له مرافق ( موجودة الدالة بصورة نسبية ):
نضرب في مرافق الجذر و يمكن أيضا إتباع فكرة الحل في أولا.

ثالثا : جذر له مرافق ( موجود في البسط فقط في هذه الحالة يجب الضرب في المرافق ليصبح معنا دالة نسبية.

*الاتصال/
أ) اتصال دالة عند نقطة.
ب) اتصال دالة على فترة.
لنبدأ بالجزء الأول : وهو اتصال دالة عند نقطة :
يجب التركيز على أن الأسئلة يمكن إدراجها تحت ثلاثة بنود هي :

أولا : بحث الاتصال عند نقطة/

وفي هذه الحالة نطبق التعريف أي نبحث:
1)نوجد قيمة الدالة عند النقطة.
2)نبحث وجود نهاية للدالة على يمين النقطة.
3)نبحث وجود نهاية للدالة على يسار النقطة.

إذا تساوت القيم في الخطوات الثلاث السابقة كانت الدالة متصلة عند تلك النقطة .
مثلا :
ابحث اتصال د(س) عند س=صفر حيث
د(س) معرفة بقاعدتين
د(س) =
س+ 3 عندما س> أو = صفر
3 - س عندما س<صفر
الحل :
د(0) = 3 ، النهاية اليمنى = 3 ، النهاية اليسرى = 3
إذن د(س) متصلة عند س= صفر

ثانيا : إعادة التعريف/
تعطى دالة (وغالبا دالة نسبية ) ويطلب إعادة تعريف هذه الدالة بحيث تكون متصلة على فترة معينة .

السؤال : كيف نحدد النقطة (أو النقط ) التي عندها الدالة النسبية غير متصلة (منفصلة) ؟
الجواب : النقطة تحدد بوضع المقام = صفر .. أصفار الدالة هي نقاط الانفصال
ونعيد تعريفها بإيجاد النهاية لهذه الدالة و قيمتها ستساوي قيمتها في الدالة.

ثالثا : إيجاد الثوابت /

مثال: أوجد قيمة المجاهيل ( وليكن أ ، ب ...) إذا علمت أن الدالة متصلة على ح أو متصلة عند نقطة معينة.
طريقة الحل ؟
نقوم بكتابة شرط الاتصال عند تلك النقطة بهذه الصورة:

النهاية اليمنى لتلك النقطة = د(س1 ) = النهاية اليسرى للنقطة
بالتعويض في السابق عن س سيتبقى المجاهيل و بالتالي يمكننا إيجاد المجاهيل المطلوبة .
مثلا :
إذا علمت أن د(س) متصلة عند س = 2 فأوجد قيمة أ ، ب
حيث د(س) =
س2 + أ س - 1 عندما س<2
5 عندما س =2
أ + ب س عندما س>2
الحل :
بما أن د(س) متصلة عند س = 2
إذن :
النهاية اليسرى = د(2) = النهاية اليمنى
بالتعويض
3 + 2أ = 5 = أ + 2 ب

بأخذ المعادلة 3 + 2أ= 5 نجد أن أ = 1

وبالتعويض عن أ في :

أ + 2 ب = 5 سنجد أن ب =2

الجزء الثاني الذي يتناول الاتصال هو :

الاتصال على فترة :

وله حالتان :
الحالة الأولى : بحث الاتصال لدالة معرفة بقاعدة واحدة .

ويمكن أن نستفيد من معرفتنا لما يلي :

-إذا كانت الدالة كثيرة حدود فمجالها هو ح و بالتالي هي متصلة على ح أو أي مجموعة جزئية منها .

مثلا : د(س) = س^5 - 4 س^3 + 8
الحل : بما أن د(س) كثيرة حدود
إذن هي متصلة على مجالها ح أو أي مجموعة جزئية منها .

-إذا كانت الدالة هي دالة المطلق فمجالها ح و بالتالي هي متصلة على ح أو أي مجموعة جزئية منها.

مثلا : د(س) = | س + 4 | حيث س ينتمي [ -2 ، 5 ]
الحل : بما أن د(س) دالة مطلق
إذن هي متصلة على أي فترة جزئية من مجال دالة المطلق ألا وهو ح
إذن د(س) متصلة على [ -2 ، 5. [

-إذا كانت الدالة ذات دليل فردي فمجالها ح و بالتالي هي متصلة على ح أو أي مجموعة جزئية منها.

مثلا : د(س) = الجذر الخماسي ل ( س +9)
الحل :
بما أن د(س) هي دالة ذات دليل فردي (حيث دليل الجذر = 5)
إذن هي متصلة على مجالها ح أو أي مجموعة جزئية منها.

-إذا كانت الدالة نسبية (حدودية / حدودية ) فمجالها هو ح - أصفار المقام و بالتالي هي متصلة على ح أو أي مجموعة جزئية منها ومنفصلة عند أصفار المقام.
مثلا :
د(س) = 5 / ( س -1)
الحل :
د(س) نسبية
يوجد لد(س) صفر للمقام عند س= 1
إذن د(س) متصلة عند ح - {1}

-إذا كانت الدالة هي دالة جذر دليله زوجي فهي متصلة على مجالها (جميع الأعداد التي تجعل ما بداخل الجذر قيمته غير سالبة ) و منفصلة عند القيم التي تجعل ما بداخل الجذر سالب.

مثلا : د(س) = الجذر التربيعي لـ( س -2)
الحل: نوجد مجال الدالة
س -2 > أو = صفر
أي أن مجال د(س) هو [ 2 ، مالانهاية [
إذن د(س) متصلة على تلك الفترة.

الحالة الثانية : عند بحث الاتصال لدالة معرفة بأكثر من قاعدة :

هناك خطوات تجعل البحث سهل و مرتب :
1) نحدد المجال.
2) نرتب القواعد المتعددة للدالة حسب ترتيب الفترات على خط الأعداد.
3) نبحث الاتصال في كل قاعدة على حدة.
4) نبحث الاتصال عند نقاط التحول ( وهي النقاط التي يتغير الاقتران أو القاعدة عندها .(
5) نبحث الاتصال عند طرفي المجال إذا كان محددا بحيث نبحث عند يمين بداية المجال ونبحث عند يسار نهاية المجال.
6) نسجل خلاصة ما تم الوصول إليه.
......................................

الموضوع الأصلي : ملخص خاص بإيجاد النهاية والاتصال // المصدر : منتديات أحلى حكاية // الكاتب: سر النرجس

ملخص خاص بإيجاد النهاية والاتصال

مواضيع ذات صلة